余切函數 (tan) 是三角學中一個重要的函數，它表示一個角的正切值。在本篇文章中，我們將介紹余切函數的三角學表示和解析表示，并提供相應的證明。

三角學表示

正余弦表示

余切函數可以通過正弦函數和余弦函數來表示：```tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)```其中 θ 是角度。 證明： 考慮一個直角三角形，其中 θ 是一個銳角。令直角邊的長為 a，對邊為 b，斜邊為 c。那么，余切函數定義為：```tan(θ) = b / a```根據三角恒等式，我們有：```cos(θ) = a / csin(θ) = b / c```將 sin(θ) 和 cos(θ) 代入余切函數的表達式中，得到：```tan(θ) = (b / c) / (a / c) = b / a```因此，余切函數可以表示為正弦函數和余弦函數之比。

角的和差公式

余切函數的角的和差公式如下：```tan(θ ± φ) = (tan θ ± tan φ) / (1 ± tan θ tan φ)``` 證明： 使用正余弦表示，我們可以將余切函數寫成：```tan(θ ± φ) = (sin(θ ± φ)) / (cos(θ ± φ))```使用角的和差公式展開正弦和余弦函數，得到：```tan(θ ± φ) = (sin θ cos φ ± cos θ sin φ) / (cos θ cos φ? sin θ sin φ)```整理分母，得到：```tan(θ ± φ) = (sin θ cos φ ± cos θ sin φ) / (cos θ cos φ - sin θ sin φ)```使用分配律和余切函數的定義，得到：```tan(θ ± φ) = (tan θ cos φ ± tan φ) / (1 ± tan θ tan φ)```因此，得證。

解析表示

除了三角學表示外，余切函數還有解析表示：```tan(x) = (e^(2ix) - 1) / (e^(2ix) + 1)```其中 x 是一個虛數，i 是虛單位。 證明： 使用歐拉公式，我們可以寫出：```e^(ix) = cos(x) + i sin(x)```將 e^(ix) 代入余切函數的三角學表示中，得到：```tan(x) = (cos(x) + i sin(x)) / (cos(x) - i sin(x))```將分母分母同時乘以共軛復數 cos(x) + i sin(x)，得到：```tan(x) = ((cos(x) + i sin(x))^2) / (cos(x)^2 + sin(x)^2)```使用三角恒等式簡化分母，得到：```tan(x) = ((cos(x) + i sin(x))^2) / 1```展開平方，得到：```tan(x) = (cos(x)^2 + 2icos(x)sin(x) - sin(x)^2) / 1```使用三角恒等式簡化分子，得到：```tan(x) = (e^(2ix) - 1) / (e^(2ix) + 1)```因此，得證。

應用

余切函數在三角學和數學中有著廣泛的應用，包括：求解三角形計算角度作圖

結論

我們已經介紹了余切函數的三角學表示和解析表示，并提供了相應的證明。這些表示對于理解和使用余切函數至關重要，在三角學和數學中有著廣泛的應用。

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