前言

Gamma 函數在概率論、統計學和應用數學等領域有著廣泛的應用。為了擴展 Gamma 函數的適用范圍，數學家們提出了不完全 Gamma 函數的概念。文章將帶你深入理解不完全 Gamma 函數的定義、公式和性質，揭開它神秘的面紗。

定義

不完全 Gamma 函數，記為 Γ(a, z) ，定義為：

其中， a 為一個大于 0 的實數參數， z 為一個復參數。

不完全 Gamma 函數的公式

不完全 Gamma 函數與 Gamma 函數的定義公式相類似，但多了 z 這個上界積分項。以下是一些重要的公式：

• 不完全 Gamma 函數與 Gamma 函數的關系： Γ(a, z) = Γ(a) - Γ _z (a)
• 對 a 求導： ?Γ(a, z)/?a = z ^a-1 e ^-z
• 對 z 求導： ?Γ(a, z)/?z = a Γ(a-1, z)
• 漸近展開：當 z → ∞ 時， Γ(a, z) ≈ z ^a-1 e ^-z [1 + O(z ^-1 )]

性質

不完全 Gamma 函數具有許多有用的性質，它們在解決各種實際問題時至關重要：

• 正性： Γ(a, z) > 0 。
• 單調性：對于固定的 a ， Γ(a, z) 隨著 z 的增加而單調遞增。
• 半群性質： Γ(a, u + v) = ∫ ₀ ^u Γ(a, t) dΓ(a, v-t) 。
• 遞推關系： Γ(a+1, z) = a Γ(a, z) + z ^a e ^-z 。

應用

不完全 Gamma 函數在以下領域有著廣泛的應用：

• 概率論：不完全 Gamma 函數用于求解截斷正態分布、t 分布和其他不完整分布的累積分布函數。
• 統計學：不完全 Gamma 函數用于擬合具有不對稱尾部的分布，例如偏正態分布和偏 t 分布。
• 金融工程：

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